|
להבין את תורת היחסות הפרטית תוכן העינינים
להבין את תורת היחסות הפרטית מאת רפי מור 2004
מטרת המאמר הזה היא להציג את תורת היחסות הפרטית באופן פשוט להבנה. המאמר סוקר את הנושאים הבסיסיים בתורת היחסות הפרטית באופן לא פורמלי וללא שימוש במתמטיקה גבוהה כך שכל אחד שיש לו ידע בסיסי בפיזיקה יוכל להבין.
כאשר התגלו במאה ה-18 התכונות הגליות של האור (ושל קרינות אלקטרומגנטיות אחרות), הניחו המדענים שצריך להיות חומר כלשהו שבו נעים הגלים. הם האמינו שחומר כזה ממלא את כל החלל וקראו לו אתר. ב-1887 אלברט מיקלסון ואדוארד מורלי ביצעו ניסוי שבו ניסו להראות את התנועה של כדור הארץ ביחס לאתר על ידי מדידת שינויים במהירות האור בכיוונים שונים. לתדהמתם הרבה, הם לא מצאו כל שינוי במהירות האור ללא תלות בתנועת הארץ יחסית למקור האור או יחסית לאתר. בעקבות תוצאות הניסוי הזה שידוע בשם ניסוי מיקלסון-מורלי, נטשו רוב הפיזיקאים את התיאוריה בדבר קיום האתר. בהעדר האתר אין גם מערכת יחוס מוחלטת שבאמצעותה ניתן לקבוע מה נמצא בתנועה בחלל ומה במנוחה. זאת הייתה נקודת המוצא שבה החל אינשטיין את עבודתו על תורת היחסות.
אינשטיין ביסס את תורתו על שתי הנחות יסוד:
1. עקרון היחסות: חוקי הפיזיקה זהים בכל מערכות הייחוס האינרטיות.
2. אחידות מהירות האור: למהירות האור בריק יש ערך קבוע c בכל מערכת ייחוס אינרטית.
הנחת היסוד הראשונה קובעת סימטריה או שוויון בין כל מערכות הייחוס האינרטיות (שאינן בתאוצה). אפשר להניח לגבי כל מערכת ייחוס אינרטית שהיא נמצאת במנוחה בעוד ששאר המערכות האינרטיות נעות במהירות קבועה לאורך קווים ישרים. נקודה חשובה נוספת בהקשר לכך היא, שבהעדר מערכת ייחוס מוחלטת אין גם הגדרה מוחלטת של מקום או נקודה בחלל. מה שהוא נקודה קבועה בחלל לגבי מערכת אחת, הוא נקודה נעה עבור מערכת אחרת. אנשים שנמצאים בשתי מערכות שנעות זו ביחס לזו לא יוכלו להסכים על המקום שבו קרה אירוע בעבר. הנחת היסוד השנייה היא זו שמאלצת אותנו לשנות את חוקי הפיזיקה כפי שהכרנו אותם לפני תורת היחסות. תארו לעצמכם שתי ספינות חלל שחולפות זו ליד זו, אחת פונה אל השמש והשנייה ממנה והלאה. שתיהן צופות בפוטון אחד שבא מהשמש. ללא יחסות יראו שתי הספינות את הפוטון לאחר שנייה אחת במרחק שניית אור אחת מהן. אלא שבינתיים הספינות התרחקו זו מזו ולכן יראו את הפוטון בשני מקומות שונים באותו הזמן. כדי לראות איך ניתן ליישב את הבעיה הזאת ניקח דוגמה שנתן אינשטיין עצמו.
רכבת נוסעת במהירות קבועה לאורך מסילה ישרה. אישה עומדת בדיוק באמצע הרכבת וגבר עומד מחוץ לרכבת סמוך לפסים. התרחיש הבא מתואר כפי שהוא נראה או נמדד או בעצם כפי שהוא קורה באמת מנקודת מבטו של הגבר: כאשר האישה שברכבת נמצאת בדיוק מולו, שני ברקים פוגעים בשני הקצוות של הרכבת. הם משאירים סימנים גם על הרכבת וגם על המסילה במקומות שבהם פגעו. האור מהברקים מתחיל להתפשט במהירות קבועה לכל הכוונים כמתואר בתרשים 1א'. שבריר של שנייה מאוחר יותר מגיע האור הבא מקדמת הרכבת אל האישה כפי שנראה בתרשים 1ב'. קצת אחר-כך האור משני הברקים מגיע אל האיש שמחוץ לרכבת בו זמנית כפי שנראה בתרשים 1ג'. לבסוף מגיע האור מהברק שפגע בקצה האחורי של הרכבת אל האישה.
המשפטים הבאים נכונים במערכת הייחוס של הגבר:
א. האישה נמצאת במרכז הרכבת. ב. שני הברקים התרחשו בו זמנית. ג. מהירות התקדמות האור משני הברקים שווה. ד. האור מהברק הקדמי מגיע אל האישה לפני האור מהברק האחורי.
עכשיו ננסה לראות איך נראים הדברים מנקודת מבטה של האישה. אנחנו כבר יודעים על הבדל אחד בין שתי מערכות הייחוס: במערכת הייחוס של הגבר המקומות שבהם מתרחשים הברקים הם הנקודות על המסילה שבהן הם השאירו סימנים. במערכת הייחוס של האישה הנקודות הן בקצוות של הרכבת. מכאן שבמערכת הייחוס שלה האישה נמצאת במרחק שווה משני האירועים כל הזמן. אם נניח שכל המשפטים למעלה נכונים גם במערכת של האישה, תהיה כאן סתירה לוגית: האור לא יכול לנוע מרחקים שווים במהירות שווה ועם זאת לא להגיע באותו זמן. לכן, לפחות אחד מהמשפטים (וזה יכול להיות כל אחד מהם) איננו נכון במערכת הייחוס של האישה. לו היינו מדברים על שתי פיסות מתכת שניתזו מפגיעת הברק ולא על אור, היה זה משפט ג' שלא היה נכון במערכת הייחוס של האישה. אם מהירותן של שתי פיסות המתכת שווה ל-v במערכת הייחוס של הגבר, במערכת הייחוס של האישה מהירות הפיסה שבאה מלפנים תהיה v+V ומהירות הפיסה שבאה מאחור תהיה v-V, כאשר V היא מהירות הרכבת. אבל על פי הנחת היסוד מספר 2 אין זה המקרה כאשר אנו מדברים על אור. מהירות האור נשארת קבועה בכל מערכת ייחוס. לכן, אחד מהמשפטים האחרים צריך להיות זה שאיננו נכון במערכת הייחוס של האישה. נניח שזהו משפט ד'. כלומר, למרות שהאיש רואה את האור מהברק הקדמי מגיע אל האישה לפני האור מהברק האחורי, האישה רואה את האור משני הברקים מגיע בו זמנית. הנחה כזאת יכולה להביא לתוצאות מוזרות ביותר: נניח שאנו מניחים שני תאים פוטו-אלקטריים על הרכבת בנקודה P שבה נפגש האור משני הברקים לפי מערכת הייחוס של הגבר. אחד התאים מופנה קדימה והשני לאחור. את התאים מחברים לנפץ של פצצה, כך שאם שני התאים מוארים בו-זמנית הפצצה מתפוצצת. במערכת הייחוס של הגבר הפצצה תתפוצץ מכיוון שהאור יגיע לשני התאים בו-זמנית. במערכת הייחוס של האישה הפצצה לא תתפוצץ מכיוון שבמערכת שלה ההבזקים מהברקים נפגשים על-ידה ולא בנקודה P. יהיה קשה מאד להסתדר עם ההבדל הזה בין המערכות. יש לזכור שקל מאד לעבור ממערכת ייחוס אחת לשנייה. כל מה שדרוש הוא קצת תאוצה. תארו לעצמכם שהאיש יושב למחרת היום בבאר כשפתאום נכנסת האישה. "איך ייתכן שאת כאן בחיים?" ישאל הגבר מופתע. "ראיתי את הרכבת שלך מתרסקת לרסיסים אתמול ולא היו כל ניצולים." "על מה אתה מדבר?" שואלת האישה. "הרכבת הגיעה בשלום לתחנה הסופית שבה גם ירדתי ממנה." אפשר לראות שפתרון שגורר מצב חומרי שונה בשתי מערכות ייחוס איננו מתקבל על הדעת. אפשר להראות בעיה דומה אם אנחנו מנסים לפתור את הסתירה על-ידי הנחה שמשפט א' אינו נכון במערכת הייחוס של האישה, ולמרות שהגבר מודד מרחקים שוים בין האישה לשני הקצוות של הרכבת, האישה רואה את עצמה קרובה יותר לקצה הקדמי של הרכבת מאשר לקצה האחורי. נניח שעל רצפת הרכבת מונח מקל ארוך מאוד שמגיע מהאישה עד לקצה הקדמי של הרכבת. האישה מרימה את המקל ומנסה ללחוץ בעזרתו על בלם החירום שבקצה האחורי של הרכבת. במערכת הייחוס שלה היא לא תצליח כי המקל יהיה קצר מדי ולכן הרכבת תמשיך לנסוע. במערכת הייחוס של הגבר היא תצליח והרכבת תעצור. נשארנו עם משפט ב'. לא נותר לנו אלא להניח שבמערכת הייחוס של האישה הברק הקדמי מתרחש לפני הברק האחורי. הבעיה היחידה בפתרון הזה היא שהוא נשמע מאד מוזר. אנחנו רגילים לחשוב על הזמן כעל דבר מוחלט ולא תלוי במערכת ייחוס. מה שקורה עכשיו קורה עכשיו ולא משנה מאיפה אתה מסתכל על זה. אבל בואו לא נשכח כמה מוזר זה נשמע כשמספרים לנו בפעם הראשונה שכדור הארץ הוא עגול ואי שם רחוק מתחתנו עומדים אנשים כשרגליהם פונות אלינו וקוראים לכיוון שפונה אלינו "למטה". בחלק הקטן של פני כדור הארץ שאנו מכסים בחיי היומיום העקמומיות היא כל כך קטנה שאפשר להניח שהוא שטוח. באותו אופן, במהירויות הקטנות שאנחנו פוגשים בחיי היומיום אפשר להניח שהזמן הוא מוחלט אבל כשמדברים על מהירויות גבוהות יותר רואים שאין הדבר כך. מצאנו עכשיו את אחד החוקים של תורת היחסות – יחסיות הסימולטניות. שני אירועים שקורים בו-זמנית במערכת ייחוס אחת מתרחשים בהפרשי זמן במערכת אחרת. שני שעונים שמתואמים במערכת אחת יראו הפרשי זמן במערכת ייחוס אחרת. אפשר לראות מתוך הדוגמה שלמעלה שההפרש הזה גדל עם הגדלת המהירות היחסית בין שתי מערכות הייחוס וגם עם הגדלת המרחק בין שני האירועים בכיוון התנועה היחסית של המערכות. עכשיו עלינו לראות מה עוד שונה בין מערכות ייחוס שונות.
תארו לעצמכם שני אנשים על רציף של נמל שמנסים למדוד את אורכה של אוניה השטה לאורך הרציף. אחד מהם הולך על יד החרטום והשני ליד הירכתיים. כאשר אחד מהם שורק, מסמנים שניהם על הרציף בגיר את מיקום הקצה הקדמי והאחורי של הספינה ולאחר מכן הם מודדים את המרחק בין הסימנים. השיטה פועלת כראוי. אבל מה קורה כשאדם אחד מנסה לעשות כך לבדו? הוא מסמן קצה אחד של הספינה, רץ לקצה השני ומסמן גם אותו. אבל בגלל שהספינה המשיכה לנוע בזמן שהוא רץ, תוצאת המדידה שהוא יקבל תהיה גדולה או קטנה מאורכה האמיתי של הספינה, תלוי בקצה שממנו התחיל. כדי לדעת את אורכו של דבר מה עלינו לדעת איפה נמצאים שני קצותיו בו-זמנית. אבל מה אם המושג בו-זמנית הוא יחסי? כנראה שנמדוד אורכים שונים ממערכות יחוס שונות. נחזור רגע למקרה הרכבת. הגבר רואה את שני הברקים פוגעים בו זמנית בשני הקצוות של הרכבת. הברקים משאירים סימנים על המסילה. עבורו, המרחק בין הסימנים שווה לאורך הרכבת. האישה, במערכת הייחוס שלה, רואה את המסילה נעה לכיוון הצד השמאלי של התרשים. הברק בימין התרשים מתרחש במערכת הייחוס הזאת ראשון ומסמן את מיקום הקצה הקדמי של הרכבת על המסילה. הברק בשמאל התרשים מסמן את הקצה האחורי של הרכבת קצת אחרי כן. בזמן שעבר בין שני הברקים נעה המסילה שמאלה עם הסימן הימני שעליה. לכן, במערכת הייחוס של האישה המרחק בין הסימנים על המסילה קטן מאורך הרכבת. מה נמדוד אם הרכבת והמסילה יהיו באותה מערכת ייחוס, כלומר נעצור אם נעצור את הרכבת על יד הסימנים? אורך של אובייקט כפי שהוא נמדד במערכת הייחוס של עצמו נקרא האורך הנכון (proper length). נניח שהאורך הנכון של הרכבת שווה לאורך הנכון של המרחק בין הסימנים על המסילה. זה מפר את הסימטריה הנדרשת על פי הנחת היסוד מס' 1: במערכת הייחוס של הגבר האורך הנמדד של הרכבת שווה לאורכה הנכון. במערכת הייחוס של האישה לעומת זאת, המרחק בין הסימנים קטן מהמרחק הנכון. מה אם האורך הנכון של הרכבת קטן מהמרחק הנכון בין הסימנים? הגבר רואה את הרכבת ארוכה מאורכה הנכון, בעוד שהאישה רואה את המרחק בין הסימנים קצר מהמרחק הנכון. שוב אין סימטריה. האפשרות היחידה שבה נשמרת הסימטריה היא שהאורך הנכון של הרכבת גדול מהמרחק הנכון בין הסימנים ושניהם רואים את האורכים במערכת הייחוס השנייה קצרים מאורכם הנכון. זהו עוד חוק של תורת היחסות – הצטמצמות האורך. כאשר מודדים אורכים במערכת שנעה יחסית אלינו האורכים בכיוון התנועה היחסית יהיו קצרים מאורכם הנכון.
בוא נבנה שעון אור. נשים שתי מראות עם החזרה מושלמת זו מול זו במרחק של מיקרו-שניית אור אחת בדיוק. נשלח פולס של אור כך שהוא ינוע הלוך וחזור בין שתי המראות. כל "תקתוק" של השעון יארך בדיוק מיקרו-שנייה אחת. מה נראה אם נסתכל על שעון האור ממערכת ייחוס שנעה ביחס לשעון בכיוון ניצב לתנועת האור בין המראות כפי שמתואר בתרשים 2 ? יחסית למערכת השנייה המרחק שעובר האור בין שתי המראות גדול ממיקרו-שניית אור. מכיוון שמהירות האור קבועה ייקח לאור יותר ממיקרו-שנייה לעבור את המרחק הזה. לכן בעוד שאדם שנמצא במערכת הייחוס של השעון מודד שנייה אחת בכל "תקתוק" של השעון, עבור אדם במערכת השנייה הזמן הזה ארוך יותר. במילים אחרות, האדם במערכת הייחוס השנייה רואה את הזמן במערכת של השעון עובר לאט יותר.
עקרון הסימטריה קובע שגם האיש במערכת של השעון רואה את הזמן במערכת השנייה עובר לאט יותר. זה עניין שקצת קשה לתפוס. בגלל שאנחנו כל כך רגילים לחשוב על הזמן כדבר מוחלט, קל לנו יותר לקבל ששתי מערכות רואות כל אחת את האורכים במערכת השנייה קטנים יותר, מאשר לקבל ששתי מערכות רואות כל אחת את הזמן במערכת השנייה עובר לאט יותר. עלינו להבין שלכל מערכת יש זמן נפרד משלה. זהו לא אותו הזמן שאנו מודדים ממערכות ייחוס שונות. אפשר לעשות את ההקבלה הבאה: שני אנשים מתחילים ללכת בקו ישר מאותה נקודה בשני כיוונים שביניהם זווית α כפי שמתואר בתרשים 3 . שניהם הולכים קדימה במהירות שווה. אחרי זמן מה מסתכלים שניהם הצידה כדי לראות איפה נמצא האיש השני. שניהם רואים שיחסית לכיוון שלהם האיש השני נמצא מול נקודה על הנתיב שלהם שאותה כבר עברו, לכן שניהם מסיקים שהאיש השני נמצא מאחוריהם. זה קורה בגלל שקדימה ואחורה הם דברים שונים עבור כל אחד מהם. באותו אופן מוקדם ומאוחר הם דברים שונים עבור שני אנשים שנמצאים בתנועה יחסית ביניהם. כאשר הם מסתכלים על הזמן של האחר הם משווים אותו לזמן שלהם. כמו שכל אחד מהאנשים בתרשים רואה את השני מאחוריו, כל אחד מהאנשים במערכות הייחוס הנעות רואה את הזמן של השני עובר לאט יותר.
ראינו עכשיו את שלשת העקרונות הבסיסיים של תורת היחסות הפרטית: הצטמצמות האורך, התרחבות הזמן והיחסיות של הסימולטניות. עכשיו אנחנו צריכים את המתמטיקה של כל זה. לשם כך נציג את הרעיון של החלל-זמן.
עבור כל דבר שקורה ביקום אפשר לשאול איפה הוא קרה ומתי הוא קרה. התשובה לשאלה הראשונה ממקמת את האירוע בחלל והתשובה לשנייה ממקמת אותו בזמן. כדי לקבוע את מקומו של משהו בחלל אנחנו משתמשים לרוב במערכת צירים אורתוגונלית בעלת 3 צירים ניצבים וראשית משותפת. כדי למקמם משהו בזמן דרושה לנו נקודת ייחוס בזמן והפרש הזמן בין נקודת הייחוס לאירוע שלנו. הרעיון של מרחב-זמן מחבר את שני הדברים האלה ביחד למערכת צירים ארבע-מימדית אחת עם שלשה צירי חלל וציר זמן אחד. מיקומו של אירוע במערכת הצירים נותן את התשובות לשאלות איפה ומתי. הרבה פעמים, כשמדובר בחלל-זמן, בוחרים יחידות מרחק וזמן כאלה שמהירות האור c שווה ל 1, כמו שנות-אור למרחק ושנים לזמן. בחירה כזאת נותנת סימטריה נוחה בגיאומטריה של החלל-זמן. הבעיה בכך היא שהדבר גורם לנוסחאות שאנו משתמשים בהן להיות תלויות בבחירת היחידות. אנחנו נשתמש בטריק שונה. במקום להראות את הזמן t על הציר הרביעי, נסמן עליו את הערכים של ct (מכפלת הזמן במהירות האור). ערך זה ייצג היטב את הזמן מכיוון שטכנית רק הכפלנו את הזמן t בקבוע, דבר שמקביל בעצם לבחירת יחידות שונות עבור הזמן. על ידי כך נשיג את הסימטריה הרצויה מבלי להפוך את הנוסחאות לתלויות בבחירת היחידות. ויש גם עוד משהו: היחידות של ct הנן בעצם יחידות אורך ואנחנו יכולים להשתמש באותן יחידות עבור כל ארבעת המימדים שלנו. חלל-זמן ארבע-מימדי קשה מאוד להמחשה. כדי לעשות את הדברים מוחשיים יותר נשתמש רק בשני צירי חלל או אפילו אחד בלבד כדי ליצור חלל-זמן תלת או דו-מימדי. חלל-זמן דו-מימדי מספיק בשביל לתאר דברים שקורים לאורך קו ישר אחד, כמו למשל דוגמת הרכבת. כל העניין בתורת היחסות הוא איך נראים הדברים (או איך הם באמת) ביחס למערכות ייחוס שונות. פירוש הדבר הוא בעצם טרנספורמציה של אירועים ממערכת צירי חלל-זמן אחת לשנייה. אנו יודעים איך לעשות טרנספורמציה של נקודות ממערכת צירי חלל אחת לשנייה, אבל המתמטיקה או הגיאומטריה של החלל-זמן שונה מהגיאומטריה האיוקלידית שאנו משתמשים בה עבור החלל. בואו נצייר מערכת צירי חלל-זמן דו-מימדית בעלת ציר x וציר ct כפי שמצויר בתרשים 4. נניח שאלה הם צירי החלל-זמן של האדמה בדוגמת הרכבת, כשהראשית O היא בנקודה שבה עומד האיש ובזמן שהאישה נמצאת בדיוק מולו.
הקו האדום שמסומן כ-ct' מראה את מיקומה של האישה כפי שהוא נראה מהאדמה. קו זה מתואר על ידי המשוואה:
נגדיר את β כיחס בין המהירות היחסית בין שתי מערכות הייחוס לבין מהירות האור:
β = v/c (1)
במערכת הצירים של הרכבת האישה נמצאת כל הזמן בנקודה x' = 0, לכן קו זה מתאר את הציר ct' של הרכבת כפי שהוא נראה במערכת הצירים של האדמה. אנחנו יודעים שעבור מערכת צירי חלל, אם ציר אחד של מערכת צירים מסובב בזוית α יחסית למערכת צירים אחרת, הציר השני יהיה מסובב באותה זווית ובאותו הכיוון. האם זה כך גם עבור מערכת צירי חלל-זמן? אנחנו יודעים שבמערכת הייחוס של האדמה שני הברקים קורים בזמן t = 0. נסמן אותם בעזרת הנקודות L1 ו-L2 על מערכת הצירים. במערכת הייחוס של הרכבת הברק הימני קורה לפני t' = 0 והברק השמאלי אחרי t' = 0. לכן, הקו t' = 0 שהוא ציר ה-x של מערכת הצירים של הרכבת, עובר מתחת לנקודה L1, דרך הראשית O ומעל לנקודה L2. כלומר הציר x' מסובב בכיוון ההפוך לסיבוב של הציר ct'. בואו ננסה למצוא את זווית הסיבוב של הציר x'. במישור, פולס של אור מתפשט באופן כזה שהוא יוצר מעגל שהולך וגדל עם הזמן. בחלל-זמן תלת-מימדי הוא יוצר קונוס שנקרא קונוס האור. בחלל-זמן דו-מימדי מה שנשאר מקונוס האור הם שני קווים אלכסוניים שמיצגים את התקדמות האור לאורך ציר החלל בכיוון החיובי ובכיוון השלילי. עבור אור שנע בכיוון x חיובי ct = x ועבור אור שנע בכיוון x שלילי ct = -x. קווים שמתארים התקדמות של אור בחלל-זמן מיוצגים על ידי קווים בעלי שיפוע של ±45˚. כיוון שמהירות האור היא קבועה בכל מערכת יחוס הדבר נכון גם עבור מערכת הצירים x', ct'. פולס של אור שמתחיל בראשית הצירים ונע בכיוון x עובר דרך הנקודה x=1, ct=1 וגם דרך הנקודה x'=1, ct'=1. פולס של אור שמתחיל בנקודה x'=1, ct'=0 ונע בכיוון –x שיפועו יהיה -45˚ והוא יעבור דרך הנקודה x'=0, ct'=1. מזה נובע שהמרובע (x'=0,ct'=0), (x'=1,ct'=0), (x'=1,ct'=1), (x'=0,ct'=1) הוא מעוין, ולכן הצירים x' ו-ct' יוצרים זווית שווה עם קו ה-45˚ (תרשים 5)
איך נראית רשת הקואורדינטות של המערכת x’,ct’ במערכת x,ct? כל קווי הזמן (x' קבוע) יהיו מקבילים לציר ct' מכיוון שכל נקודה על הרכבת נעה באותה מהירות. כמו כן כל קווי החלל (ct' קבוע) יהיו מקבילים לציר x'. ידוע לנו שיחידת זמן במערכת הייחוס של הרכבת נראית ארוכה יותר במערכת הייחוס של הקרקע ולכן המרווח בין קווי הרשת של מערכת הקואורדינטות x’,ct’ בכיוון ct' יהיה גדול מיחידה. בשל הסימטריה גם המרווחים בכיוון x' יהיו גדולים באותה מידה. בכמה בדיוק? בשלב הזה נעזוב לרגע את ההמחשה הגיאומטרית ונעבור לנוסחאות.
הנוסחאות לטרנספורמציה של אירועים בין שתי מערכות צירים בחלל-זמן פותחו על ידי הנדריק לורנץ ופורסמו כשנה לפני שאינשטיין פירסם את עבודתו הראשונה על תורת היחסות. נביא כאן דרך אחת לפיתוח המשוואות שידועות כטרנספורמציית לורנץ. ראשית נמצא את מקדם התרחבות הזמן. נסמן אותו באות γ. נחזור לשעון האור שבסעיף התרחבות הזמן ונסמן את המשולש ABC באופן הבא:
אורך הקו BC שווה ל l שהוא המרחק בין שתי המראות. l = ct’ כאשר t’ הוא הזמן שלוקח לאור לעבור את המרחק ביו שתי המראות במערכת הייחוס של השעון. t הוא הזמן שלוקח לאור לעבור את המרחק הגדול יותר AC בין המראות כפי שהוא נמדד במערכת הייחוס ה"נייחת". עלפי ההגדרה t = γt’. ולכן אורך הקו AC שווה ct = γct’ = γl. אורך הקו AB שווה למרחק שעברה מערכת השעון בזמן t ונתונה על ידי:
אם נבחר l = 1 נקבל:
BC = 1 AC = γ AB = γβ
נשתמש במשפט פיטגורס ונקבל:
אם אנחנו מניחים שטרנפורמציה בין מערכות חלל-זמן היא לינארית משוואות הטרנספורמציה צריכות להיות מהצורה:
ct = act’ + bx’ (3.1)
x = dx’ + ect’ (3.2)
כאשר a, b, c ו-d הנם קבועים עבור זוג מערכות ייחוס. ידוע לנו שעבור פולס של אור שנע בכיוון x מתקיים x = ct וגם x’ = ct’ ולכן עבור אירועים שנמצאים על הקו הזה אנחנו מקבלים:
act’ + bx’ = dx’ + ect’ ax’ + bx’ = dx’ + ex’
a + b = d + e (4)
עבור פולס אור שנע בכיוון –x מתקיים x = -ct ו- x’ = -ct’ ולכן
act’ + bx’ = -dx’ – ect’ act’ – bct’ = dct’ – ect’
a – b = d – e (5)
על ידי חיבור של (4) ו-(5) נקבל
2a = 2d a = d (6)
על ידי חיסור (5) מ-(4) נקבל
2b = 2e b = e (7)
הקו x' = 0 עובר דרך הראשית המשותפת של שתי מערכות הצירים ולכן עבור הקו הזה כאשר t' = 0 גם t = 0. הגדרנו את γ כמקדם התרחבות הזמן ומכאן שעבור הקו הזה t = γt'. אם נציב x' = 0 ו- t = γ t' ב-(3.1) נקבל:
ct = γct' = act' a = γ (8)
עבור הקו x' = 0 אנחנו יודעים גם ש:
אם נציב x = βct ו- x' = 0ב-(3.2) נקבל:
βct = ect' βγt' = et' e = βγ (9)
מתוך (6), (7), (8) ו-(9):
a = d = γ and b = e = βγ
ואם נציב תוצאה זו ב-(3.1) ו-(3.2) נקבל את טרנספורמצית לורנץ עבור חלל-זמן דו-מימדי:
ct = γ(ct' + βx') (10.1)
x = γ(x' + βct') (10.2)
כאשר:
בעוד שכמה גדלים
בגיאומטריה תלויים במערכת הייחוס, גדלים אחרים אינם תלויים בה והם
קבועים עבור כל מערכות הייחוס. בחלל למשל, המרחק בין שתי נקודות נשאר
שווה בכל מערכות הייחוס. לכן, עבור כל מערכות הצירים שלהן ראשית
משותפת, המרחק מנקודה כלשהי לראשית הוא בלתי משתנה. ממשפט פיטגורס אנו
יודעים שהריבוע של המרחק הזה נתון על ידי
ולכן ערכו של הביטוי הזה הוא בלתי משתנה בחלל. מתוך טרנספורמציית לורנץ אפשר לראות שעבור החלל-זמן
מכיוון ש
|
